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  3. 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．

设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．

admin2018-05-22  50
问题 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．
选项
答案因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r， 设η0为方程组AX=b的一个特解，令β0=η0，β1=ξ1+η0，β2=ξ2+η0，…，βn-r=ξn-r+η0，显然β0，β1，β2，…，βn-r为方程组AX=b的一组解． 令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即 (k0+k1+…+kn-r)η0+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0， 上式两边左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0， 因为b为非零列向量，所以k0+k1+…+kn-r=0，于是 k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，故β0，β1，β2，…，βn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设β1，β2，…，βn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ1=β2-β1，γ2=β3-β1，…，γn-r+1=βn-r+2-β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．
解析
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考研数学二

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