设幂级数的系数{an}满足a0=2,nan=an一1+n一1,n=1,2,3,….求此幂级数的和函数S(x),其中x∈(一1,1).

admin2016-07-29  33

问题 设幂级数的系数{an}满足a0=2,nan=an一1+n一1,n=1,2,3,….求此幂级数的和函数S(x),其中x∈(一1,1).

选项

答案求解本题的关键是确定幂级数[*]的系数an(n=0,1,2,…).为此在系数的递推公式nan=an一1+n一1中依次令n=1,2,3即得 a1=a0=2, [*] 由此可猜想[*]对n=2,3,4,…都成立.用数学归纳法只需证明若[*]成立,则an+1=[*]也成立即可.事实上,由(n+1)an+1=an+n可得 [*] 即系数{an}的递推公式对任何n≥2成立.从而幂级数 [*]

解析
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