设A是n阶矩阵,证明: (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβT; (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.

admin2019-07-28  39

问题 设A是n阶矩阵,证明:
    (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβT
    (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.

选项

答案(I)若r(A)=1,则A为非零矩阵且A的任意两行成比例,即 [*] 于是A=[*](b1,b2,…,bn). 令[*],显然α,β都不是零向量且A=αβT; 反之,若A=αβT,其中α,β都是n维非零列向量,则r(A)=r(αβT)≤r(α)=1,又因为α,β为非零列向量,所以A为非零矩阵,从而r(A)≥1,于是r(A)=1. (Ⅱ)因为r(A)=1,所以存在非零列向量α,β,使得A=αβT,显然tr(A)=(α,β),因为tr(A)≠0,所以(α,β)=k≠0. 令AX=λX,因为A2=kA,所以λ2X=kλX,或(λ2-kλ)X=0,注意到X≠0,所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k. 因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k,所以λ1=k,λ2=λ3=…=λn=0,由r(0E-A)=r(A)=1,得A一定可以对角化.

解析
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