设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限.证明: (Ⅰ)设A<B,则对μ∈(A,B),ξ∈(-∞,+∞),使得F(ξ)=μ; (Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)有界.

admin2021-11-09  38

问题 设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限.证明:
(Ⅰ)设A<B,则对μ∈(A,B),ξ∈(-∞,+∞),使得F(ξ)=μ;
(Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)有界.

选项

答案利用极限的性质转化为有界区间的情形. (Ⅰ)由[*]=A<μ及极限的不等式性质可知,[*]X1使得f(X1)<μ. 由[*]=B>μ可知,[*]X2>X1使得f(X2)>μ.因f(x)在[X1,X2]连续,F(X1)<μ<f(X2),由连续函数介值定理知[*](-∞,+∞),使得F(ξ)=μ. (Ⅱ)因[*],由存在极限的函数的局部有界性定理可知,[*]X1使得当x∈(-∞,X1)时f(x)有界;[*]X2(>X1)使得当x∈(X2,+∞)时f(x)有界.又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知,f(x)在[X1,X2]上有界.因此f(x)在(-∞,+∞)上有界.

解析
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