一射手进行独立重复射击,已知每次击中目标的概率为p(0<p<1),射击一直进行到击中两次目标为止。令X为首次击中目标所进行射击的次数,Y表示总共进行射击的次数。求(X,Y)的联合分布律、边缘分布律和条件分布律。

admin2019-03-25  18

问题 一射手进行独立重复射击,已知每次击中目标的概率为p(0<p<1),射击一直进行到击中两次目标为止。令X为首次击中目标所进行射击的次数,Y表示总共进行射击的次数。求(X,Y)的联合分布律、边缘分布律和条件分布律。

选项

答案先求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律 方法一:设事件“X=m”是第m次射击首次击中目标,事件“Y=n”是第n次射击第二次击中目标,即m<n,m,n∈Z+,于是(X,Y)的联合分布律为 P{X=m,Y=n}=(1一p)m-1p(1一p)n-m-1P=(1一p)N-2P2, m=1,2,…,n一1;n=m+1,m+2,…, 于是可得 P{x=m}=[*](1一P)n-2P2=P2[*]=P(1一P)m-1,m=1,2,…, P{Y=n}=[*](1一p)n-2P2=(n一1)(1一p)n-2P2,n=2,3,…。 方法二:由题意可知X服从几何分布C(p),Y服从负二项分布NB(2,P),即 P{X=m}=P(1一P)m-1,m=1,2,…, P{Y=n}=Cn-11(1一P)n-2P2=(n一1)(1一P)n-2P2,n=2,3,…。 X和Y的联合分布律 P{X=m,Y=n}=(1一P)n-2P2,m=1,2,…,n一1;n=m+1,m+2,…。 再求条件分布律: 当{Y=n}时,X的条件分布律为 P{X=m∣Y=n}=[*],m=1,2,…,n一1, 同理可得,当{X=m}时,Y的条件分布律为 P{Y=n∣X=m}=(1一p)n-m-1P,n=m+1,m+2,…。

解析
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