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设在[1,+∞)上处处有f”(x)<0,且f(1)=2,f’(1)=一3,证明:在(1,+∞)内方程f(x)=0仅有一个实根.
设在[1,+∞)上处处有f”(x)<0,且f(1)=2,f’(1)=一3,证明:在(1,+∞)内方程f(x)=0仅有一个实根.
admin
2016-01-11
45
问题
设在[1,+∞)上处处有f”(x)<0,且f(1)=2,f’(1)=一3,证明:在(1,+∞)内方程f(x)=0仅有一个实根.
选项
答案
将函数f(x)在x=1处展开为一阶泰勒公式,得 [*] 由题设f”(x)<0,知[*]于是 f(x)<2—3(x一1)=5—3x. 取[*],f(x
0
)<0,又f(1)=2>0,由介值定理知,存在η∈(1,x
0
)[*](1,+∞),使得f(η)=0,即方程f(x)=0在(1,+∞)内有实根存在. 由于f”(x)<0,[*]∈(1,+∞),所以f’(x)单调减少,于是f’(x)≤f’(1)=一3,即当x≥1时,f’(x)<0,f(x)单调减少,故方程f(x)=0在(1,+∞)内只有一个实根.
解析
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考研数学二
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