设函数y=y（x）在（一∞，+∞）内具有二阶导数，且y’≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数。（Ⅰ）试将x=x（y）所满足的微分方程=0变换为y=y（x）满足的微分方程；（Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）=0，y’（0）=的特解。

admin2017-12-29 81

问题设函数y=y（x）在（一∞，+∞）内具有二阶导数，且y’≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数。
（Ⅰ）试将x=x（y）所满足的微分方程

=0变换为y=y（x）满足的微分方程；
（Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）=0，y’（0）=

的特解。

选项

答案（Ⅰ）由反函数的求导公式知[*]，于是有 [*] 代入原微分方程得 y"一y=sinx。（Ⅱ）方程（*）所对应的齐次方程y"一y=0的通解为 y=C₁e^x+C₂ e^—x。设方程（*）的特解为 y^*=Acosx+Bsinx，代入方程（*），求得A=0，B=[*]，故y^*=[*]，因此y"一y=sinx的通解是 y=y+y^*=C₁e^x+C₂e^—x—[*]sinx。由y（0）=0，y’（0）=[*]，得C₁=1，C₂=一1。故所求初值问题的特解为 y=e^x—e^—x一[*]sinx。

解析

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考研数学三

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考研数学三

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