设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．求a，b的值；

admin2021-02-25 57

问题设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=ax²₁+2x²₂-2x²₃+2bx₁x₃(b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
求a，b的值；

选项

答案二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λ_i=(i=1，2，3)．由题设，有 λ₁+λ₂+λ₃=a+2+(-2)=1， [*] 解得a=1，b=2．

解析本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，特征值与特征向量的计算与性质．首先写出二次型f的矩阵A，利用特征值与行列式、迹之间的关系，求出a，b的值．此时该题成为一道常规题了．

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