[2006年] 设α1，α2，…，αs都是n维列向量，A是m×n矩阵，则( )成立．

admin2019-04-28 42

问题 [2006年] 设α₁，α₂，…，α_s都是n维列向量，A是m×n矩阵，则( )成立．

选项 A、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关
B、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关
C、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关
D、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关

答案A

解析解一  由定义知，若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则存在不全为零的数c₁，c₂，…，c_s，使得c₁α₁+c₂α₂+…+c_sα_s=0．用A左乘等式两边，得
         c₁Aα₁+c₂Aα₂+…+c_sAα_s=0，
于是Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．仅(A)入选．
解二  若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则秩([α₁，α₂，…，α_s])       秩([Aα₁，Aα₂，…，Aα_s])=秩(A[α₁，α₂，…，α_s])≤秩([α₁，α₂，…，α_s])故Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．仅(A)入选．

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考研数学三

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