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  3. 设A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α1一α2+3α3，Aα2=4α1—3α2+5α3，Aα3=0．求矩阵A的特征值和特征向量．

设A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α1一α2+3α3，Aα2=4α1—3α2+5α3，Aα3=0．求矩阵A的特征值和特征向量．

admin2019-04-22  26
问题 设A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α1一α2+3α3，Aα2=4α1—3α2+5α3，Aα3=0．求矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案由Aα3=0=0α3，知λ=0是A的特征值，α3是λ=0的特征向量．由已知条件有A(α1，α2，α3)=(α1一α2+3α3，4α1一3α2+5α3，0)，[*] 记P=(α1,α2,α3)，由α1,α2,α3线性无关，故矩阵P可逆，因此有P一1AP=B，其中B=[*]因此A—B．因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式[*]所以矩阵B也即A的特征值为一1，一1，0．对于矩阵B，[*]所以矩阵B对应于特征值λ=一1的特征向量是β=(一2，1，1)T，若Bβ=λβ，则有(P一1AP)β=λβ，即A(Pβ)=λ(Pβ)，那么矩阵A关于特征值λ=一1的特征向量是[*] 因此k1(一2α1+α2+α3)，k2α3分别是矩阵A关于特征值λ=一1和λ=0的特征向量(k1，k2≠0)．
解析
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考研数学二

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