设A是3阶可逆矩阵,其逆矩阵的特征值分别为1,,则|A|中对角线元素的代数余子式之和为_______.

admin2017-12-11  17

问题 设A是3阶可逆矩阵,其逆矩阵的特征值分别为1,,则|A|中对角线元素的代数余子式之和为_______.

选项

答案-5

解析 设矩阵A=,|A|中对角线元素的代数余子式之和为A11+A22+A33,即为A*=中对角线元素之和,根据特征值、特征向量的性质,矩阵的对角线元素之和等于伴随矩阵的特征值之和,所以A11+A22+A33=其中λi是伴随矩阵的特征值.
由已知条件得到矩阵A的特征值为1,-2,3.
且|A|=1×(-2)×3=-6,所以伴随矩阵的特征值为,即为-6,3,-2,所以A11+A22+A33=(-6)+3+(-2)=-5.
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