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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足 Aa1=α1+α2+α3,Aa2=2α2+α3,Aa3=2α2+3α3. (1)求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2)求A的特征值.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足 Aa1=α1+α2+α3,Aa2=2α2+α3,Aa3=2α2+3α3. (1)求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2)求A的特征值.
admin
2018-11-23
23
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量组,满足
Aa
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aa
2
=2α
2
+α
3
,Aa
3
=2α
2
+3α
3
.
(1)求作矩阵B,使得A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)B.
(2)求A的特征值.
(3)求作可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(1)在第二章中,已经用矩阵分解求出 B=[*] (2)由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关,(α
1
,α
2
,α
3
)是可逆矩阵,并且(α
1
,α
2
,α
3
)
-1
A(α
1
,α
2
,α
3
)=B,因此A和B相似,特征值相同. |λE-B|=[*]=(λ-1)(λ
2
-5λ+4)=(λ-1)
2
(λ-4). B的特征值为1,1,4.A的特征值也为1,1,4 (2)先把B对角化.求出B的属于1的两个无关的特征向量(1,-1,0)
T
,(0,2,-1)
T
;求出B的属于4的一个特征向量(0,1.1)
T
.构造矩阵 [*] 令P=(α
1
,α
2
,α
3
)D=(α
1
-α
2
,2α
2
-α
3
,α
2
+α
3
),则 P
-1
AP=D
-1
(α
1
,α
2
,α
3
)A(α
1
,α
2
,α
3
)D =D
-1
BD=[*]
解析
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考研数学一
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