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已知矩阵A=的特征值有重根,判断A能否相似对角化,并说明理由.
已知矩阵A=的特征值有重根,判断A能否相似对角化,并说明理由.
admin
2017-07-26
31
问题
已知矩阵A=
的特征值有重根,判断A能否相似对角化,并说明理由.
选项
答案
由A的特征多项式 |λE一A|=[*]=(λ一2)(λ
2
一8λ+10+a), 若λ=2是重根,则λ
2
一8λ+10+a中含有λ一2的因式,于是2
2
一16+10+a=0,得a=2. 此时λ
2
一8λ+12=(λ一2)(λ一6).矩阵A的3个特征值是2(二重根),6. 对于λ=2,由 r(2E—A)=[*]=1, 知A可以相似对角化. 若λ=2不是重根,则λ
2
一8λ+10+a是完全平方,于是 8
2
=4(10+a), 得a=6, λ=4(二重根), 对于λ=4,由于 r(4E—A)=[*]=2≠1, 故a=6时,A不能相似对角化.
解析
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考研数学三
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