设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维向量,且与向量β正交.证明:向量β为零向量.

admin2015-06-26  69

问题 设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维向量,且与向量β正交.证明:向量β为零向量.

选项

答案令A=[*],因为α1,α2,…,αn与β正交,所以Aβ=0,即β为方程组AX=0的解,而α1,α2,…,αn线性无关,所以r(A)=n,从而方程组AX=0只有零解,即β=0. k1βTα1+k2βTα2+…+knβTαn+k0βTβ=0 因为α1,α2,…,αn与β正交,所以k0βTβ=0,即k0|β|=0,从而k0=0,于是k1α1+k2α2+…+knαn=0,再由α1,α2,…,αn线性无关,得k1=k2=…=kn=0,故α1,α2,…,αn,β线性无关,矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关),所以β=0.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/bKNRFFFM
0

相关试题推荐
最新回复(0)