设奇函数f(x)在[-1,1]上二阶可导,且f(1)=l,证明: (1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;(2)存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.

admin2022-06-30  57

问题 设奇函数f(x)在[-1,1]上二阶可导,且f(1)=l,证明:
    (1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;(2)存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.

选项

答案(1)令h(x)=f(x)-x, 因为f(x)在[-1,1]上为奇函数,所以f(0)=0, 从而h(0)=0,h(1)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得h’(ξ)=0, 而h’(x)=f’(x)-1,故ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1. (2)令φ(x)=ex[f’(x)-1], 因为f(x)为奇函数,所以f’(x)为偶函数,由f’(ξ)=1得f’(-ξ)=1. 因为φ(-ξ)=φ(ξ),所以存在η∈(-ξ,ξ)[*](-1,1),使得φ’(η)=0, 而φ’(x)=ex[f"(x)+f’(x)-1]且ex≠0, 故f"(η)+f’(η)=1.

解析
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