设A，B是n阶正定矩阵，则AB为n阶正定矩阵的充分必要条件是AB＝BA．

admin2020-06-05 15

问题设A，B是n阶正定矩阵，则AB为n阶正定矩阵的充分必要条件是AB＝BA．

选项

答案必要性由于A，B，AB是n阶正定矩阵，所以必为对称矩阵，从而 AB＝(AB)^T＝B^TA^T＝BA 充分性因为(AB)^T＝BTA^T＝BA＝AB，所以AB实对称矩阵．又A，B是正定矩阵，那么存在可逆矩阵U，V，使得A＝U^TU，B＝V^TV，从而AB＝U^TUV^TV，故而 (U^T)^﹣1ABU^T＝(U^T)^﹣1U^TUV^TVU^T＝UV^TVU^T＝(VU^T)^T(VU^T) 又因为VU^T可逆，从而(U^T)^﹣1ABU^T正定，进而AB正定．

解析

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考研数学一

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