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  3. 证明：闭区间[a，b]的全体聚点的集合是[a，b]本身．

证明：闭区间[a，b]的全体聚点的集合是[a，b]本身．

admin2022-11-23  26
问题 证明：闭区间[a，b]的全体聚点的集合是[a，b]本身．
选项
答案设[a，b]的全体聚点的集合是M，设δ＞0，不妨设δ＜b-a，则 U(a；δ)∩[a，b]=[a，a+δ)[*][a，b]． 由实数集的稠密性知，集合[a，a+δ)中有无穷多个实数，故a是[a，b]的一个聚点．同理，b也是[a，b]的一个聚点． 设x0∈(a，b)，δ＞0，不妨设δ＜min{x0-a，b-x0}，则 U(x0；δ)∩[a，b]=(x0-δ，x0+δ)[*][a，b]， 故x0的任意邻域内都含有[a，b]中的无穷多个点．故x0为[a，b]的一个聚点．总之[a，b][*]M．设y0[*][a，b]，令δ=min{｜y0-a｜,｜y0-b}，则δ＞0，U(y0；δ)∩[a，b]=[*]，即y0不是[a，b]的聚点，即y0[*]M．故M[*][a，b]． 综上所述，M=[a，b]，即闭区间[a，b]的全体聚点的集台是[a，b]本身．
解析
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考研数学一

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