假设随机变量X和Y独立同分布. P{X=0}=P{Y=0}=1一p, P{X=1}=P{Y=1}=p. 随机变量Z=问p取何值时,X和Z独立?这时X,Y,Z是否相互独立?

admin2017-07-26  25

问题 假设随机变量X和Y独立同分布.
    P{X=0}=P{Y=0}=1一p,  P{X=1}=P{Y=1}=p.
随机变量Z=问p取何值时,X和Z独立?这时X,Y,Z是否相互独立?

选项

答案易得X+Y服从二项分布B(2,p),于是 P(Z=0)=P(X+Y=1)=2p(1一p), P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2) =(1一p)2+p2=1—2p+2p2. 若X与Z独立,则 P(X=0,Z=0)=P(X=0)P(Z=0), 其中 P(X=0,Z=0)=P(X=0,X+Y=1)=P(X=0,Y=1) =P(X=0)P(Y=1)=(1一p)p. 因此 (1一p)p一(1一p).2p(1一p), 即p=[*]时,P(X=i,Z=j)=P(X=i)P(Z=j),i,j=0,1,故X与 Z独立. 又因为P(X=0,Y=0,Z=0)=P(X=0,Y=0,X+Y=1)=0, P(X=0)P(Y=0)P(Z=0)≠0, 所以p=[*]时,X,Y,Z并不相互独立.

解析
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