2. 考研
  3. [2011年] 设A=[α1，α2，α3，α4]是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为( )．

[2011年] 设A=[α1，α2，α3，α4]是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为( )．

admin2019-05-06  24
问题 [2011年]  设A=[α1，α2，α3，α4]是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为(     )．
选项 A、α1，α3
B、α1，α2
C、α1，α2，α3
D、α2，α3，α4
答案D
解析 因AX=0的基础解系只含一个解向量[1，0，1，0]T，故n一秩（A）=4-秩（A）=1，即秩（A）=3．因而秩(A*)=1．于是A*X=0的一个基础解系必含n一秩(AT)=4—1=3个解向量．这就排除了A、B选项．
因秩（A）=3，故｜A｜=0，所以ATA=｜A｜E=O．又因秩（A）=3，故A的向量组中含有A*X=0的基础解系．
又因[1，0，1，0]T为AX=(α1，α2，α3，α4)X=0的解向量，故[α1，α2，α3，α4][1，0，1，0]T=α1+α3=0，即α1与α3线性相关，从而排除了C，仅D入选．
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考研数学一

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