设E为四阶单位矩阵,且 B=(E+A)-1(E-A) 则(E+B)-1=_____________.

admin2019-03-22  44

问题E为四阶单位矩阵,且
         B=(E+A)-1(E-A)
则(E+B)-1=_____________.

选项

答案[*]

解析 解一  用单位矩阵恒等变形法,得到
             B+E=(E+A)-1(E-A)+(E+A)-1(E+A)=(E+A)-1(E-A+E+A)=2(E+A)-1

  
    解二  在B=(E+A)-1(E-A)两边左乘E+A,得到
              (E+A)B=E-A,  即  AB+A+B-E=0,
由命题2.2.1.5即得
          (A+E)(B+E)=[1×1-(-1)]E=2E  (其中a-b=1,C=-1),

  
    注:命题2.2.1.5  设同阶方阵A,B满足AB+aA+bB+cE=O,其中a,b,c为常数,则
                (A+bE)(B+aE)=(ab-c)E.
        (1)当ab-c≠0时,A+bE与B+aE均为可逆,且
               (A+bE)-1=(B+aE)/(ab-c),  (B+aE)-1=(A+bE)/(ab-c).
        (2)AB=BA,因而对满足BA+aA+bB+cE=O的矩阵A,B同样也有上述结论,即
               A+bE,B+aE可逆,且
          (A+bE)-1=(B+aE)/(ab-c),  (B+aE)-1=(A+bE)/(ab-c).
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