在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn（xn+yn=1）。（Ⅰ）求关系式中的矩阵A；（Ⅱ）设目前农村人口与城镇

admin2017-12-29 44

问题在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x_n和y_n（x_n+y_n=1）。
（Ⅰ）求关系式

中的矩阵A；
（Ⅱ）设目前农村人口与城镇人口相等，即

选项

答案（Ⅰ）由题意，人口迁移的规律不变 x_n+1=x_n+qy_n一px_n=（1—p）x_n+gy_n， y_n+1=y_n+px_n一qy_n=px_n+（1一q）y_n，用矩阵表示为 [*] 得A的特征值为λ₁=1，λ₂=r，其中r=1一P—q。当λ₁=1时，解方程（A—E）x=0，得特征向量p₁=[*] 当λ₂=r时，解方程（A一rE）x=0，得特征向量p₂=[*] 令P=（p₁，p₂）=[*] 则 P^—1AP=[*]=A，A=PΛP^—1，Aⁿ=PΛP^—1。于是 [*]

解析

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考研数学三

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考研数学三

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