设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn＋1＝sinxn(n＝1，2，…)． (1)证明存在，并求该极限； (2)计算

admin2014-08-19 59

问题设数列{x_n}满足0＜x₁＜π，x_n＋1＝sinx_n(n＝1，2，…)．
(1)证明

存在，并求该极限；
(2)计算

选项

答案(1)因为0＜x₁＜π，则0＜x₂＝sinx₁≤1＜π．可推得0＜x_n＋1＝sinx_n≤1＜π，n＝1，2，…，则数列{x_n}有界．于是 [*](因为当x＞0时，sinx＜x)，则有x_n＋1＜x_n，可见数列{x_n}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限[*]存在．设[*]，在x_n＋11＝sinx_n两边令n→∞，得ι＝sinι，解得ι＝0，即[*]． (2)因[*]，由(1)知该极限为“1^∞”型，令t＝x_n，则n→∞，t→0，而[*] 又[*] 故[*]

解析题设数列由递推公式给出，一般利用单调有界数列必有极限的准则来证明数

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考研数学二

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