设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。

admin2018-05-25  27

问题 设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。

选项

答案设x0,x∈(a,b),则f(x)在以x0,x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件,因此 f(x)—f(x0)=f’(ξ)(x一x0),ξ∈(x0,x)。 因为f’(x)在(a,b)内有界,即存在N>0,使|f’(x)|<N,x∈(a,b),所以 |f(x)|=|f(x)—f(x0)+f(x0)| ≤|f(x)—f(x0)|+|f(x0)| ≤|f’(ξ)(b—a)|+|f(x0)| ≤N(b—a)+|f(x0)|=M。 根据有界的定义f(x)在(a,b)内有界。

解析
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