若ζ1,ζ2,ζ3是线性空间U3的一个基,并且有 (1)证明α1,α2,α3和β1,β2,β3都是V3的基. (2)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵. (3)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的坐标变换公式.

admin2020-09-25  45

问题 若ζ1,ζ2,ζ3是线性空间U3的一个基,并且有
(1)证明α1,α2,α3和β1,β2,β3都是V3的基.
(2)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵.
(3)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的坐标变换公式.

选项

答案(1)由已知条件可得(α1,α2,α3)=(ζ1,ζ2,ζ3)[*]=(ζ1,ζ2,ζ3)P1, [*],所以α1,α2,α3是V3的一组基. (β1,β2,β3)=(ζ1,ζ2,ζ3)[*]=(ζ1,ζ2,ζ3)P2, |P2|=[*]=1≠0,所以β1,β2,β3是V3的一组基. (2)由(α1,α2,α3)=(ζ1,ζ2,ζ3)P1可得(ζ1,ζ2,ζ3)=(α1,α2,α3)P1-1, 又因为(β1,β2,β3)=(ζ1,ζ2,ζ3)P2,所以(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)P1-1P2=(α1,α2,α3)P. 从而可得由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵为 [*] (3)设η是V3中任一向量.若η在基α1,α2,α3下的坐标为(x1,x2,x3)T,η在基β1,β2,β3下的坐标为(y1,y2,y3)T,即η=(α1,α2,α3)[*] 由于已知由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵为P,所以坐标变换公式为 [*]

解析
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