已知A,B均是2×4矩阵,Ax=0有基础解系ξ1=(1,3,0,2)T,ξ2=(1,2,-1,3)T;Bx=0有基础解系η1=(1,1,2,1)T,η2=(0,-3,1,+1)T. (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求参数a的值,使Ax=0和Bx=0有非零公共解,并

admin2019-01-24  31

问题 已知A,B均是2×4矩阵,Ax=0有基础解系ξ1=(1,3,0,2)T,ξ2=(1,2,-1,3)T;Bx=0有基础解系η1=(1,1,2,1)T,η2=(0,-3,1,+1)T
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)求参数a的值,使Ax=0和Bx=0有非零公共解,并求该非零公共解.

选项

答案(Ⅰ)记C=(ξ1,ξ2),则AC=A(ξ1,ξ2)=0,两边转置得CTAT=0. 所以矩阵A的行向量即AT的列向量是CTX一0的解,对CT作初等行变换,有 [*] 解得CTx=0的基础解系为α1=(3,-1,1,0)T,α2=(-5,1,0,1)T. 所以A=k1α1+k2α2=[*] 其中k1,k2是任意非零常数. (Ⅱ)设Ax=0和Bx=0有非零公共解,为δ,则δ可由ξ1,ξ2线性表出,也可由η1,η2线性表出, 设为 δ=x1ξ1+x2ξ2=-x3η1=x4η4, 得 x1ξ1+x2ξ2+x3η1+x4η2=(ξ1,ξ2,η1,η2)x=0. 对(ξ1,ξ2,η1,η2)作初等行变换,有 [*] 因为δ≠0,故(ξ1,ξ2,η1,η2)x=0有非零解,[*],故当a=-1时,(ξ1,ξ2,η1,η2)x=0有非零解为k(2,-1,-1,1)T,其中k是非零常数. δ=k(2ξ1-ξ2)=k(1,4,1,1)T(或δ=k(η1-η2)),其中k是非零常数.

解析
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