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  3. An×n=(α1，α2，…，αn)，Bn×n=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)，当r(A)=n时，方程组BX=0是否有非零解?

An×n=(α1，α2，…，αn)，Bn×n=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)，当r(A)=n时，方程组BX=0是否有非零解?

admin2019-07-19  16
问题 An×n=(α1，α2，…，αn)，Bn×n=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)，当r(A)=n时，方程组BX=0是否有非零解?
选项
答案方法一： B=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)=(α1，α2，…，αn)[*]， 由r(A)=n可知｜A｜≠0，而｜B｜= ｜A｜[*]=｜A｜[1+(一1)n＋1]， 当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX=0只有零解； 当n为偶数时，｜B｜=0，方程组BX=0有非零解． 方法二 BX=0[*]x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0 [*](x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn－1+xn)αn=0， 因为α1，α2，…，αn线性无关， 所以[*]=1+(一1)n＋1， 当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX=0只有零解； 当n为偶数时，｜B｜=0，方程组BX=0有非零解．
解析
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考研数学一

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