已知总体X是离散型随机变量,X可能取值为0,1,2,且P{X=2}=(1-θ)2,EX=2(1-θ)(0为未知参数). (Ⅰ)试求X的概率分布; (Ⅱ)对X抽取容量为10的样本,其中5个取1,3个取2,2个取0,求θ的矩估计值、最大似然估计

admin2018-11-23  41

问题 已知总体X是离散型随机变量,X可能取值为0,1,2,且P{X=2}=(1-θ)2,EX=2(1-θ)(0为未知参数).
    (Ⅰ)试求X的概率分布;
    (Ⅱ)对X抽取容量为10的样本,其中5个取1,3个取2,2个取0,求θ的矩估计值、最大似然估计值.

选项

答案(Ⅰ)设X的概率分布为P{X=0}=p0,P{X=1}=p1,P{X=2}=p2,由题设知p2=(1-θ)2,又EX=2(1-θ)=0 ×p0+1×p1+2p2=p1+2p2=p1+2(1-θ)2,解得p1=2(1-θ)-2(1-θ)2=2θ(1-θ),而p0+p1+p2=1,所以p0=1-p1—p2=θ2,X的概率分布为 [*] (Ⅱ)应用定义求矩估计值、最大似然估计值.令μ=EX=2(1-θ),解得θ=1-[*],于是θ的矩估计量[*],将样本值代入得θ的矩估计值为 1-[*](5×1+3×2+2×0)=1-[*], 即θ的矩估计值[*] 又样本值的似然函数 L(χ1,…,χ10;θ)=[*]P{X=χi,θ}=[2θ(1-θ)]5(1-θ)6θ4=25θ9(1-θ)11, lnL=5ln2+9lnθ+11ln(1-θ), 令[*]=0,解得θ最大似然估计值[*].

解析
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