设f(x),g(x)为[a,b]上连续的增函数(0<a<b),证明: ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx.

admin2019-02-23  25

问题 设f(x),g(x)为[a,b]上连续的增函数(0<a<b),证明:
    ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx.

选项

答案令F(x,y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)],D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤b),因为f(x),g(x)在[a,b]上为增函数,所以F(x,y)≥0,从而∫abdx∫abF(x,y)dy≥0, 而∫abdx∫abF(x,y)dy=∫abdx∫ab[f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)]dy =(b一a)∫ab}f(x)g(x)dx—∫abf(x)dx∫abg(y)dy—∫abg(x)dx∫abf(y)dy+(b一a)∫abf(y)g(y)dy =2(b一a)∫abf(x)g(x)dx一2∫abf(x)dx∫abg(x)dx, 故∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx.

解析
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