设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

admin2019-03-19 53

问题设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+A^TA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

选项

答案1 因为 B^T=(λE+A^TA)^T=λE+A^TA=B 所以B为n阶对称矩阵．对于任意的实n维向量x，有 x^TBx=X^T(λE+A^TA)x=λ^Tx+x^TA^TAx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax) 当x≠0时，有x^Tx＞0，(Ax)^T(Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意的x≠0，有 x^TBx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)＞0 即B为正定矩阵． 2 B=λE+A^TA为实对称矩阵，要证明B为正定矩阵，只要证明B的特征值均大于零．设μ为B的任一特征值，x为对应的特征向量，则Bx=μx，即 (λE+A^TA)x=μx 或λx+A^TAx=μx 两端左乘x^T，得 λx^Tx+(Ax)^T(Ax)=μx^Tx 或λ‖x‖²+‖Ax‖²=μ‖x‖² 因为x≠0有‖x‖＞0，‖Ax‖≥0，所以当λ＞0时，有 [*] 可知B的特征值全大于零，故B正定．

解析

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考研数学三

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