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  3. 设x∈(0，1)，证明： (1)(1＋x)ln2(1＋x)＜x2； (2)。

设x∈(0，1)，证明： (1)(1＋x)ln2(1＋x)＜x2； (2)。

admin2014-01-26  63
问题 设x∈(0，1)，证明：
(1)(1＋x)ln2(1＋x)＜x2；
(2)。
选项
答案(1)令ψ(x)＝(1＋x)ln2(1＋x)－x2，则有ψ(0)＝0，且 ψ’(x)＝ln2(1＋x)＋2ln(1＋x)－2x，ψ(0)＝0． [*] x∈(0，1)→ψ"(x)＜ψ"(0)＝0→(x)＜ψ’(0)，x∈(0，1)． 所以ψ’(z)＜0，从而ψ(x)＜0，即 (1＋x)ln2(1＋x)2， (2)令[*]，则有 [*]， 由(1)知，f’(x)＜0(当x∈(0，1))，于是推知在(0，1)内，f(x)单调减少．又f(x)在区间(0，1]上连续，且[*]，故当x∈(0，1)时， [*]， 不等式左边证毕． 又[*]， 故当x∈(0，1)时， [*]， 不等式右边证毕．
解析 [分析]  利用函数的单调性证明不等式．
[评注]  利用单调性证明不等式是最常用的方法之一，一般结论为f(n)(x)＞0，x∈(a，b)→f(n－1)(a，b)在(a，b)内单调增加．
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考研数学二

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