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已知随机变量X~N(0,1),求: (Ⅰ)Y=的分布函数; (Ⅱ)Y=eX的概率密度; (Ⅲ)Y=|X|的概率密度.(结果可以用标准正态分布函数Ф(x)表示)
已知随机变量X~N(0,1),求: (Ⅰ)Y=的分布函数; (Ⅱ)Y=eX的概率密度; (Ⅲ)Y=|X|的概率密度.(结果可以用标准正态分布函数Ф(x)表示)
admin
2016-10-26
35
问题
已知随机变量X~N(0,1),求:
(Ⅰ)Y=
的分布函数;
(Ⅱ)Y=e
X
的概率密度;
(Ⅲ)Y=|X|的概率密度.(结果可以用标准正态分布函数Ф(x)表示)
选项
答案
先用定义法求分布函数,而后再求概率密度. (Ⅰ)由题设知Y是离散型随机变量,其概率分布为P{Y=-1}=P{X<1}=Ф(1), P{Y=1}=P{X≥1}=1一P{X<1}=1一Ф(1)=Ф(一1), 故Y的分布函数 F(y)=P{Y≤y}=[*] (Ⅱ)Y=e
X
的分布函数F(y)=P{Y≤y}=P{e
X
≤y},故当y≤0时,F(y)=0;当y>0时,F(y)=P{X≤lny}=Ф(lny),即 [*] (Ⅲ)Y=|X|的分布函数F(y)=P{|X|≤y},当y<0时,F(y)=0;当y≥0时, F(y)=P{|X|≤y}=P{一y≤X≤y}=Ф(y)一Ф(一y)=2Ф(y)一1, 即 [*] 所以概率密度 f(y)=F′(y)=[*]
解析
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考研数学一
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