[2004年] 设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有( ).

admin2019-05-10  33

问题 [2004年]  设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有(    ).

选项 A、A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
B、A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
C、A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
D、A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关

答案A

解析 充分利用Am×nBn×s=O的两个常用结论:秩(A)+秩(B)≤n及B的每一列向量均为AX=0的解向量,A的每一行向量均为XTB=0的解向量求之.
    解一  因AB=O,则B的每列均为AX=0的解,而B≠O,则AX=0有非零解,从而A的列向量组线性相关.又A的行向量均为XTB=0的解,而A≠0,故XTB=0有非零解,从而B的行向量组线性相关.仅(A)入选.
    解二  设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵.由AB=O及命题2.2.3.1(4)知,秩(A)+秩(B)≤n,而A≠O,B≠O,必有秩(A)≥1,秩(B)≥1,从而秩(A)<n,秩(B)<n,即A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.仅(A)入选.
    解三  设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵.因A≠O,B≠O,且AB=O.由命题2.2.3.1(4)得到秩(A)<n,秩(B)<n,故
(1)A的列秩=秩(A)<n,即A的列向量组线性相关(见命题2.3.2.1(2));
(2)B的行秩=秩(B)<n,即B的行向量组线性相关.仅(A)入选.
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