设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2013-04-04 46

问题设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

选项

答案必要性．设B^TAB为正定矩阵，按定义V x≠0，恒有x^T(B^TAB)x>0．即V x≠0，恒有(Bx)^TA(Bx)>0．即V x≠0，恒有Bx≠0．齐次线性方程组Bx=0只有零解，故r(B)=n．充分性．因(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，知B^TAB为实对称矩阵．若r(B)=n，则齐次方程组Bx=0 有零解，那么V x≠0必有Bx≠0．又A为正定矩阵，所以对Bx≠0，恒有(Bx)^TA(Bx)>0．即当x≠0时，x^T(B^TAB)x>0，故B^TAB为正定矩阵．

解析

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考研数学一

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