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  3. 设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，y服从参数为1的指数分布．求(I)随机变量Z＝2X＋Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．

设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，y服从参数为1的指数分布．求(I)随机变量Z＝2X＋Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．

admin2017-08-18  38
问题 设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，y服从参数为1的指数分布．求(I)随机变量Z＝2X＋Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．
选项
答案(X，Y)的联合密度 [*] (I)方法1。分布函数法． FZ(z)＝P{Z≤z}＝P{2X＋Y≤z}． 当z<0时，FZ(z)＝0；当0≤z＜2时，如图4．1， FZ(z)＝[*]f(x，y)dxdy＝[*]e－ydy ＝[*][1一e－(z－2x)]dz＝[*](1一e－z． 当z≥2时， [*] Z的概率密度fZ(z)为 [*] (II)由于X，Y相互独立，所以Cov(X，Y)＝0． Cov(Y，Z)＝Cov(y，2X＋Y)＝2Cov(X，Y)＋DY＝0＋1＝1 由于Cov(X，Z)＝Cov(x，2X＋y)＝2Dx＋Cov(X，Y)＝[*]≠0，所以X与Z不独立．
解析
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考研数学一

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