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  3. 设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*，r(A)=r＜n，证明：方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解，而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解．

设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*，r(A)=r＜n，证明：方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解，而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解．

admin2018-08-03  29
问题 设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*，r(A)=r＜n，证明：方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解，而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解．
选项
答案由条件知齐次线性方程组Ax=0的基础解系含n一r个向量，设这个基础解系为ξ1，ξ2，…，ξn—r．则向量组 η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r (*) 满足题意．首先，由解的性质易知(*)式中的n一r+1个向量均为方程组Ax=b的解；其次，由上题知(*)式中的向量组线性无关；再次，设x为方程组Ax=b的任一解，则x—η*为方程组Ax=0的解，因此x—η*可由ξ1，…，ξn—r，线性表示，即存在一组常数志k1，…，kn—r，使得 x—η*=k1ξ1+…+kn—rξn—r 得 x=η*+k1ξ1+…+kn—rξn—r =(1一k1一…一kn—r)η*+k1(η*+ξ1)+…+kn—r(η*+ξn—r)． 即x可由向量组(*)线性表示．综上可知向量组(*)满足要求．
解析
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考研数学一

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