设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z==16(x2+y2)z,求f(u).

admin2018-11-21  18

问题 设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z==16(x2+y2)z,求f(u).

选项

答案[*] 进而可得 [1*]=4x2u2f"(u)+(2u+4x2u)f’(u), [*]=4y2u2f"(u)一(2u一4y2u)f’(u). 所以 [*]4(x2+y2)u2f"(u)+4(x2+y2)uf’(u). 由题设条件,得 u2f"(u)+uf’(u)一4f(u)=0. 这是欧拉方程,令u=et,方程化为 [*]一4z=0 (z=f(u)), 解此二阶线性常系数齐次方程得 z=C1e2t+C2e-2t,即z=f(u)=C1u2+[*]常数.

解析 z=的复合函数,由复合函数求导法可导出与f’(u).f"(u)的关系式,从而由=16(x2+y2)z导出f(u)的微分方程式,然后解出f(u).
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