(98年)设函数f(χ)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(χ),直线χ=1,χ=t(t>1)与χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所形成的旋转体体积为 V(t)=[t2f(t)-f(1)] 试求f(χ)所满足的微分方程,并求该微分方程满足

admin2017-05-26  35

问题 (98年)设函数f(χ)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(χ),直线χ=1,χ=t(t>1)与χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所形成的旋转体体积为
    V(t)=[t2f(t)-f(1)]
    试求f(χ)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件的解.

选项

答案V(t)=π∫1tf2(χ)dχ=[*][t2f(t)-f(1)] 即3∫1tf2(χ)dχ=t2f(t)-f(1) 两边对t求导得 3f2(t)=2tf(t)+t2f′(t) 将上式改写为χ2y′=3y2-2χy 即[*] 令[*]=u,则有 [*] 两边积分得[*] 从而有y-χ=cχ3y 由已知条件求得c=-1,从而所求的解为y-χ=-χ3y

解析
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