求下列幂级数的收敛域或收敛区间: (Ⅲ) anxn的收敛半径R=3;(只求收敛区间) (Ⅳ) ax(x一3)n,其中x=0时收敛,x=6时发散.

admin2018-11-21  27

问题 求下列幂级数的收敛域或收敛区间:

(Ⅲ)  anxn的收敛半径R=3;(只求收敛区间)
(Ⅳ)  ax(x一3)n,其中x=0时收敛,x=6时发散.

选项

答案(Ⅰ)[*]有相同的收敛半径,可以用求收敛半径公式计算收敛半径.首先计算 [*] 所以R=1. 再考察两个端点,即x=±1时的敛散性.显然x=1,级数[*]是发散的.而x=一1时,[1*]单调递减,令f(x)=[*]<1,ln(1+x)>1,这就说明f’(x)<0,f(x)单调递减.所以[*]满足莱布尼兹判别法的两个条件,该级数收敛. 这样,即得结论:[*]xn—1的收敛域为[一1,1). (Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n—1=0,n=1,2,…),所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R.一般有两种方法: 它是函数项级数,可直接用根值判别法.由于 [*] (Ⅲ)[*]nan(x一1)n+1=(x一1)2[[*]an(x一1)n]’,由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知,[*]nan(x一1)n+1与[*]an(x一1)n有相同的收敛半径R=3.因而其收敛区间为(一2,4). (Ⅳ)令t=x一3,考察[*]antn,由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3,又t=3时其发散→R≤3.因此R=3,[*]antn的收敛域是[一3,3),原级数的收敛域是[0,6).

解析
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