2. 考研
  3. (Ⅰ)求微分方程＝0的通解及满足y(1)＝1的特解； (Ⅱ)求微分方程(yeχ＋2eχ＋y2)dχ＋(eχ＋2χy)dy＝0的通解．

(Ⅰ)求微分方程＝0的通解及满足y(1)＝1的特解； (Ⅱ)求微分方程(yeχ＋2eχ＋y2)dχ＋(eχ＋2χy)dy＝0的通解．

admin2018-06-12  29
问题 (Ⅰ)求微分方程＝0的通解及满足y(1)＝1的特解；
    (Ⅱ)求微分方程(yeχ＋2eχ＋y2)dχ＋(eχ＋2χy)dy＝0的通解．
选项
答案先判断类型，然后再求解． (Ⅰ)原微分方程两边乘以y4后并改写成 [*] 这是齐次方程u＝[*]，原方程变成可分离变量的方程 [*] 分离变量得 [*] 积分得[*] 即ln[*]＝ln｜χ｜＋C1，亦即[*]＝Cχ， 代入u＝[*]，得通解[*]＝C，其中C为[*]常数． 令χ＝1，y＝1得C＝0，于是得满足y(1)＝1的特解y＝χ． (Ⅱ)这不是可分离变量的或齐次的，也不是一阶线性等类型的方程．考察一下是否是全微分方程． 将方程表为Pdχ＋Qdy＝0([*]χ，y)．因 [*] 所以原方程是全微分方程，求它的通解归结为求Pdχ＋Qdy的原函数． (y＋2)deχ＋y2dχ＋eχd(y＋2)＋χdy2＝0， 由微分法则得d[(y＋2)eχ＋χy2]＝0． 因此通解为(y＋2)eχ＋χy2＝C，其中C为[*]常数．
解析
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考研数学一

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