设f(x)具有二阶导数，试确定f(x)，使曲线积分∫C[e-x-2f(x)-f(x)]ydx+f’(x)dy与积分路径无关．

admin2016-04-27 6

问题设f(x)具有二阶导数，试确定f(x)，使曲线积分∫_C[e^-x-2f(x)-f(x)]ydx+f’(x)dy与积分路径无关．

选项

答案[*] 由曲线积分与路径无关，所以有[*]，即y"+2y’+y=e^-x．先求对应齐次方程y"+2y’+y=0的通解．因特征方程为：r²+2r+1=0所以r=-1为二重根，所以齐次方程的通解为Y=e^-x(C₁x+C₂) 设y*=2Ax²e^-x为方程y"+2y’+y=e^-x的特解．则y*’=2Axe^-x-Ax²e^-x y*"=2Ae^-x-4Axe^-x+Ax²e^-x．将y*，y*’，y*"代入微分方程y"+2y’+y=e^-x．比较系数可得A=1／2．所以y*=[*]x²e^-x．所以f(x)=e^-x(C₁x+C₂)+[*]x²e^-x．

解析

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