设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1,λ2=λ3=1,对应于A。的特征向量为ξ1=(0,1,1)T,求A.

admin2018-11-22  29

问题 设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1,λ23=1,对应于A。的特征向量为ξ1=(0,1,1)T,求A.

选项

答案对应于λ2=2=λ3=1有两个线性无关的特征向量ξ2,ξ3,它们都与ξ1正交,故可取 [*]

解析 本题考查实对称矩阵的性质、齐次线性方程组的基础解系的求法及方阵对角化的应用.现再对几个有关问题加以说明:
    (1)关于属于λ2=2=λ3=1的特征向量的求法:设

为属于λ2=2=λ3=1的特征向量,则由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交的性质,有ξ1⊥X,即0x1+x2+x3=0,其系数矩阵为[0  1  1],它的秩为1,因此对应齐次线性方程含1个约束未知量,若取x2为约束未知量,则余下来的未知量x1和x2就是自由未知量,分别令x1=1,x3=0和x1=0,x3=一1,代入由自由未知量表示的通解x2=0x1一x3,即得基础解系;

ξ2和ξ3就是属于λ23=1的线性无关特征向量.不少考生由方程x2+x3=0只能求到一个非零解,常常求不出ξ1,其原因就在于没有掌握上述“先选取约束未知量,从而选取自由未知量,进而求出基础解系”的方法.
    (2)如果令矩阵P=[ξ1  ξ2  ξ3],则P可逆(但不是正交阵),使P—1AP=D,于是可由A=PDP—1解出A来,但需要求一个逆矩阵,因此不如题解中的解法简单.
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