设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.

admin2017-06-26  41

问题 设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.

选项

答案必要性:设BTAB正定,则对任意n维非零列向量χ,有χt(BTAB)χ>0,即(Bχ)TA(Bχ)>0,于是Bχ≠0.因此,Bχ=0只有零解,从而有r(B)=n. 充分性 因(BTAB)T=BTATB=BTAB,故BTAB为实对称矩阵,若r(B)=n,则齐次线性方程组Bχ=0只有零解,从而对任意n维非零列向量χ,有Bχ≠0,又A为正定矩阵,所以对于Bχ≠0,有(Bχ)TA(Bχ)>0,于是当χ≠0时,χT(BTAB)χ=(Bχ)TA(Bχ)>0,故BTAB为正定矩阵.

解析
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