设A为三阶实对称矩阵，为方程组(2E-A)X=0的一个解，又A2-A-2E=0且｜A｜=2，则A=________。

admin2021-01-28 54

问题设A为三阶实对称矩阵，

为方程组(2E-A)X=0的一个解，又A²-A-2E=0且｜A｜=2，则A=________。

选项

答案[*]

解析令AX=λX(X≠0)，
由A²-A-2E=0得(A²-A-2E=0)X=(λ²-λ-2)X=0，
从而λ²-λ-2=0，于是λ=2或λ=-1，
再由｜A｜=2得λ₁=2，λ₂=λ₃=-1，
显然α₁=

，为λ₁=2的线性无关的特征向量，
设α=

为λ₂=λ₃=-1的特征向量，
因为A^T=A，所以α₁^Tα=0，即-x₁+x₂=0，
得λ₂=λ₃=-1对应的线性无关的特征向量为

，

。

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