求一曲线,使曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于a2,且曲线过(a,a)点.

admin2012-01-29  63

问题 求一曲线,使曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于a2,且曲线过(a,a)点.

选项

答案设所求曲线为y=f(x).由题设,作出所围梯形如图9—1中阴影部分所示.由于过曲线y=f(x)上点(x,y)的切线方程为 Y-y=fˊ(x)(X-x) 令Y=0,得切线在x轴上的截距X=x-y/yˊ,此为梯形的下底长. 又由于梯形上底长为x,高为y,因此梯形面积 [*] 即 2(xy-a2)yˊ=y2 注意到x为一次幂,可把x看成y的函数,上述方程可化为 y2dx/dy-2yx=-2a2。 此为一阶线性方程.由公式可求其通解为 x=cy2+2a2/3y. 又曲线过(a,a)点,即满足初始条件y︳x=a=a,代入上通解,得c=1/(3a),故所求曲线方程为 x=y2/(3a)+(2a2)/(3y)

解析
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