设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,试证:存在两点ξ,η∈(a,b),使得 (e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ.

admin2019-01-05  32

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,试证:存在两点ξ,η∈(a,b),使得
    (e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ

选项

答案令g(x)=e3x,则g(x)=e3x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件. 由拉格朗日中值定理,存在点η∈(a,b),使得 [*] 令F(x)=exf(x),由拉格朗日中值定理,存在点ξ∈(a,b),使得 [*] 代入①式,可得(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ

解析 (e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ
    →(e2a+ea+b+e2b)eξ[f(ξ)+f’(ξ)]=3e
    →(e2a+ea+b+e2b)[ex(x)]’|x=ξ=(e3x)|x=η
先对g(x)=e3x用拉格朗日中值定理,再对F(x)=exf(x)用拉格朗日中值定理,然后乘以常数(e2a+ea+b+e2b)可得待证的等式.
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