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(2016年)设二维随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|0<x<1,x2<y<}上服从均匀分布,令U= (Ⅰ)写出(X,Y)的概率密度; (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由; (Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。
(2016年)设二维随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|0<x<1,x2<y<}上服从均匀分布,令U= (Ⅰ)写出(X,Y)的概率密度; (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由; (Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。
admin
2018-04-23
36
问题
(2016年)设二维随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|0<x<1,x
2
<y<
}上服从均匀分布,令U=
(Ⅰ)写出(X,Y)的概率密度;
(Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由;
(Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。
选项
答案
(Ⅰ)区域D的面积S=∫
0
1
[*],则(X,Y)的概率密度为 [*] (Ⅱ)P{U=0)=P{X>Y}=∫
0
1
dx∫
x
2
x
3dy=[*], P{U=1}=1-P{U=0}=[*], P{U=0,X≤[*]}=P{X>Y,X≤[*]} [*] 因为P{U=0,X≤[*]}≠P{U=0).P{X≤[*]}, 所以U与X不独立。 (Ⅲ)由全概率公式可得 F(z)=P{Z≤z}=P{X+U≤z} =P{X+U≤z,X≤Y}+P{X+U≤z,X>Y} =P{X≤z-1,X≤Y}+P{X≤z,X>Y}。 当0≤z<1时, F(z)=P{X≤2,X>Y}=∫
0
z
dx∫
x
2
x
3dy=[*]z
2
-2
3
; 当1≤z<2时, F(z)=P{X≤z-1,X≤Y}+P{X≤z,X>Y} [*] 所以 [*]
解析
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考研数学三
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