2. 考研
  3. 设函数，其中n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数，求证： (Ⅰ)Fn(x)在(0，+∞)存在唯一零点xn； (Ⅱ)(1+xn)收敛； (Ⅲ)Fn(x)=+∞。

设函数，其中n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数，求证： (Ⅰ)Fn(x)在(0，+∞)存在唯一零点xn； (Ⅱ)(1+xn)收敛； (Ⅲ)Fn(x)=+∞。

admin2018-11-16  50
问题 设函数，其中n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数，求证：
(Ⅰ)Fn(x)在(0，+∞)存在唯一零点xn；
(Ⅱ)(1+xn)收敛；
(Ⅲ)Fn(x)=+∞。
选项
答案(Ⅰ)Fn(x)在[0，+∞)内可导(也就必然连续)，又[*]，故Fn(x)在[*]存在零点，记为xn，则Fn(xn)=0，又[*]，从而Fn(x)在[0，+∞)单调上升，因此Fn(x)在(0，+∞)有唯一零点，就是这个xn。 (Ⅱ)在前面的证明中已得估计式[*]，因[*]收敛，由比较原理知[*]收敛，又In(1+xn)～xn(n→∞)，故[*](1+xn)收敛。 (Ⅲ)方法一：前面已导出[*]，从而[*]有[*]。又[*]，故[*]。 方法二：直接由[*]同样得[*]。
解析
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考研数学三

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