2. 考研
  3. 设a1＝(a1，a2，a3，a4)，a2＝(a2，－a1，a4，－a3)，a3＝(a3，－a4，－a1，a2)，其中ai(i＝1，2，3，4)不全为零． (Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关； (Ⅱ)记，证明AAT是正定矩阵．

设a1＝(a1，a2，a3，a4)，a2＝(a2，－a1，a4，－a3)，a3＝(a3，－a4，－a1，a2)，其中ai(i＝1，2，3，4)不全为零． (Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关； (Ⅱ)记，证明AAT是正定矩阵．

admin2019-06-04  22
问题 设a1＝(a1，a2，a3，a4)，a2＝(a2，－a1，a4，－a3)，a3＝(a3，－a4，－a1，a2)，其中ai(i＝1，2，3，4)不全为零．
(Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关；
(Ⅱ)记，证明AAT是正定矩阵．
选项
答案(Ⅰ)用反证法．假设α1，α2，α3线性相关，则由定义，存在不全为零的实数k1，k2，k3，使得 k1α1＋k2α2＋k3α3＝0． (*) 因[*] 又αjαjT＝[*]≠0，j＝1，2，3．故将式(*)两端左乘αjT，j＝1，2，3，得 kjαjαjT＝0，αjαjT≠0[*]kj＝0，j＝1，2，3， 这和假设矛盾，得证α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，α2，α3线性无关，则r(A)＝3，且AAT是实对称矩阵．则齐次方程组ATx＝(α1T，α2，α3T)x＝0仅有唯一零解，则对任给的x≠O，ATx＝(α1T，α2T，α3T)x≠0，将其两端右乘(ATx)T，得 (ATx)T(ATx)＝xTAATx＞0， 由矩阵正定的定义，证得AAT是正定矩阵．
解析
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考研数学一

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