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  3. 证明：∫01dx∫01(xy)xy=∫01xxdx．

证明：∫01dx∫01(xy)xy=∫01xxdx．

admin2016-09-13  24
问题 证明：∫01dx∫01(xy)xy=∫01xxdx．
选项
答案本题看似是二重积分问题，事实上，用代换t=xy可将累次积分化为定积分． 在∫01(xy)xydy中，视x为常数，令t=xy，dt=xdy，当y从0变到1时，t从0变到x，则 ∫01(xy)xydy=∫0xtt[*]∫0xttdt， 从而 ∫01dx∫01(xy)xydy=∫01[*]dx∫0xttdt=∫01ttdt∫t1[*]dx=－∫01ttlntdt． 于是也就是要证明 －∫01ttlntdt=∫01ttdt， 移项后就是要证明 ∫01tt(1+lnt)dt=0． 事实上， tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)， 故 ∫01tt(1+lnt)dt=etlnt｜01=0．
解析
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考研数学三

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