设A＝有三个线性无关的特征向量． (1)求a； (2)求A的特征向量； (3)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵．

admin2019-08-23 29

问题设A＝

有三个线性无关的特征向量．
(1)求a；
(2)求A的特征向量；
(3)求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角阵．

选项

答案(1)由｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋2)(λ－1)²＝0 得矩阵A的特征值为λ₁＝－2，λ₂＝λ₃＝1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以相似对角化，从而，r(E－A)＝1，由E－A＝[*]得a＝－1． (2)将λ＝－2代入(λE－A)X＝0，即(2E＋A)X＝0。由2E＋A＝[*] 得λ＝－2对应的线性无关的特征向量为α₁＝[*]；将λ＝1代入(λE－A)X＝0，即(E－A)X＝0，由E－A＝[*] 得λ＝1对应的线性无关的特征向量为α₂＝[*]，α₃＝[*]． (3)令P＝[*]，则P^-1AP＝[*]．

解析

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